viernes, 25 de septiembre de 2009

EL MÉTODO DE IMÁGENES

El método de imágenes (o de imágenes de espejo) es una herramienta matemática para solucionar las ecuaciones diferenciales en las cuales el dominio de la función buscada es ampliado por la adición de su imagen de espejo con respecto a un hiperplano de la simetría, con el propósito de la facilitación de la solución del problema original. Se utiliza en electrostática para calcular o para visualizar simplemente la distribución del campo eléctrico de una carga en la vecindad de la superficie que conduce. Se basa en el hecho de que el componente tangencial del campo eléctrico a la superficie de un conductor es cero, y que un cierto campo E con y en una cierta región es definido únicamente por su componente normal sobre la superficie que confina esta región (el teorema de la unicidad).

El método se puede también utilizar en magnetoestática para calcular el campo magnético de un imán que esté cercano a una superficie superconductora. Aquí, el componente del normal del campo magnético al superconductor es cero. Otro uso está en la dinámica flúida: el movimiento de un vórtice cerca de una pared puede ser calculado usando un vértice de la imagen.


Un ejemplo de libro de textos es una superficie que conduce plana infinita (véase fig. 1). En este caso la distribución del campo entre la superficie y una carga está igual que entre esta carga y otra carga (carga imaginaria), que es la imagen de espejo de la carga verdadera por lo que se refiere a la superficie pero tiene la muestra opuesta. Evidentemente, en caso de un dipolo eléctrico, el vector del dipolo reflejado tendrá la muestra opuesta. Por lo tanto, la fuerza entre la carga eléctrica o el sistema de cargas y la superficie que conduce es atractiva.


En caso de pares del imán-superconductor (el superconductor aquí es ideal, en el cual el campo magnético no penetra), la imagen de espejo del imán tendrá un vector de la magnetización que se refleje pero de la misma muestra (véase fig. 2). Esto se puede pensar como debido al cambio adicional de la muestra sobre el reflejo de un vector axial que la magnetización sea. La fuerza entre el imán y la superficie superconductora es por lo tanto repulsiva.













Fig. 1. El campo de una carga positiva sobre una superficie que conducía plana, encontró por el método de imágenes.























Fig. 2. Un dipolo magnético sobre la superficie superconductora. El campo entre el imán y la superficie está igual que entre este imán y simétrico.








Fuentes:
http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_images

CORRIENTE FILAMENTAL A LA INTERFAZ PLANA DE DOS MATERIALES PERMEABLES

Cuando dos macizos magnetizables semiinfinitos, de permeabilidades µ1 y µ2, se encuentran en una interfaz plana, que se hace coincidir con el plano YZ, y una corriente filamental, I, colocada en el material de permeabilidad µ1, pasa por el punto (d,0) del plano XY y está orientada en el sentido del eje Z, la intensidad magnética en un punto cualquiera del material de permeabilidad µ1, es

Donde r1 y r2 son las distancias, respectivamente, entre el punto arbitrario y los puntos (d,0) y (-d,0) del plano XY; esa intensidad es idéntica a la de dos corrientes filamentales, I e I1, paralelas, que fluyen en el sentido del eje Z, inmersas en un medio de permeabilidad µ1 y que pasan, respectivamente, por los puntos (d,0) y (-d,0), donde I1 = I(µ2 - µ1)/( µ1 + µ2). La intensidad magnética en un punto cualquiera del material de permeabilidad µ2 es

Y es idéntica a la de una corriente filamental, I2, que fluye en el sentido del eje Z, inmersa en un material de permeabilidad µ2 y que pasa por el punto (d,0) del plano XY, donde I2=2Iµ1/( µ1 + µ2).

Figura: Interfaz plana entre medios permeables. En (a) se representa una corriente rectilínea frente a la interfaz plana de dos materiales permeables; en (b) y (c) se muestran sendos problemas ficticios, en los que el material respectivo es homogéneo, de modo que al superponer sus soluciones se obtiene la del problema real. Para ubicar las corrientes virtuales, I1 e I2, la interfaz se trata como un espejo imperfecto que refleja y refracta a la vez, y sus magnitudes se calculan con el uso de las condiciones de frontera en z=0.

Fuentes:

Teoría Electromagnética - Proposiciones y Soluciones (Alvaro Gaviria). Pag. 370

jueves, 24 de septiembre de 2009

CAMPOS ELECTRODINÁMICOS EN PRESENCIA DE CONDUCTORES PERFECTOS

El acercamiento integral de la superposición es directamente aplicable a la determinación de campos electrodinámicos de las fuentes especificadas a través de todo el espacio. En presencia de los materiales, las fuentes se inducen así como impuesto. Estas fuentes no se pueden especificar por adelantado. Por ejemplo, si se introduce un conductor perfecto, las corrientes y las cargas superficiales se inducen en su superficie apenas de tal manera en cuanto a aseguran que haya ni un campo eléctrico tangencial en su superficie ni un normal de la densidad de flujo magnético a su superficie.


El acercamiento integral de la superposición se puede utilizar para encontrar los campos en la vecindad de conductores perfectos, para los sistemas de Electrostrática (EQS) y para los sistemas de Magnetostática (MQS). Las fuentes ficticias están situadas en el exterior de las regiones de interés de modo que agreguen a ésas de las fuentes reales a fin de satisfacer las condiciones de límite. El acercamiento se utiliza generalmente para proporcionar descripciones analíticas simples de campos, en este caso su uso es un pedacito de un arte pero puede también ser la base para los análisis numéricos prácticos que implican sistemas complejos.


Comenzamos con un recordatorio de las condiciones de límite que representan la influencia de las fuentes inducidas en la superficie de un conductor perfecto. Tal conductor se define como uno en cuya E0 porque . Porque el campo eléctrico tangencial debe ser continuo a través del límite, sigue de la condición de la continuidad de Faraday esa apenas fuera de la superficie del conductor perfecto (teniendo el normal de la unidad n).


(1)

La ecuación (1) implica que la densidad de flujo magnético normal de una superficie conductorea perfecta debe ser constante.
(2)


Método de Imágenes
Las consideraciones de la simetría usadas para satisfacer condiciones de límite en ciertos planos de la simetría son igualmente aplicables aquí, aunque los campos ahora sufren retrasos bajo condiciones transitorias y la fase retrasa en el de estado estacionario sinusoidal. Ilustraremos el método de imágenes para un dipolo incremental. Sigue por la superposición que el mismo método se puede utilizar con distribuciones arbitrarias de la fuente.


Suponga que deseábamos determinar los campos asociados a un dipolo eléctrico sobre un plano de tierra perfectamente que conducía. Este dipolo será llamado Ep y Hp, respectivamente. Para satisfacer la condición que allí no sea ningún campo eléctrico tangencial en el plano del conductor perfecto, ese plano se hace uno de la simetría en una configuración equivalente en la cual se monte un segundo dipolo de la “imágen”, teniendo una dirección y una intensidad tales que en cualquier instante, sus cargas son las negativas de los del primer dipolo. Es decir, la carga positiva del dipolo superior es reflejada por una carga negativa de la magnitud igual con el plano perpendicular de la simetría y de bisecar una línea que ensambla los dos. Se ha arreglado el segundo dipolo de modo que en cada uno inmediato a tiempo, produzca un tangencial E = Eh que se cancele justo con cada una de las localizadas en el plano de la simetría. Con
(3)
hemos hecho que E satisface (1) y por lo tanto (2) en el plano de tierra.


Hay dos maneras de conceptuar el “Método de Imágenes.” El que está dado aquí es constante con el punto de vista integral de la superposición. El segundo toma el punto de vista del valor de límite. Desde el punto de vista del valor de límite, en la parte superior - media - el espacio, Ep y Hp son soluciones particulares, satisfaciendo la ecuación de onda no homogénea por todas partes en el volumen de interés. En esta región, los campos Eh y Hh debido al dipolo de la imagen son entonces soluciones a la ecuación de onda homogénea. Físicamente, representan los campos inducidos por fuentes en el límite del conductor perfecto.

Para acentuar que las discusiones de la simetría se aplican sin importar los detalles temporales de las excitaciones, los campos demostrados en fig. 1 son los del dipolo eléctrico durante el transeúnte de abertura. En un punto arbitrario en el plano de tierra, el dipolo “verdadero” produce los campos que no están necesariamente en el plano del de papel o del perpendicular a él. Con todo la simetría requiere que la E tangencial debido a la suma de los campos sea cero en el plano de tierra, y la ley de Faraday requiere que el normal H sea cero también.

Figura 1: Dipolos sobre un plano de tierra junto con sus imágenes: (a) dipolo eléctrico; y (b) dipolo magnético


En el caso del dipolo magnético sobre un plano de tierra demostrado en fig. 1b, encontrar el dipolo de la imagen es la más fácil anulando el normal de la densidad de flujo magnético al plano de tierra, algo que el campo eléctrico tangencial al plano de tierra. Si visualizamos el dipolo como debido a la carga magnética, la carga de la imagen ahora está de la misma muestra, algo que enfrenta la muestra, como la fuente.

El Método de Imágen es de uso general en ampliar las técnicas integrales de la superposición a los patrones del campo de la antena para tratar los efectos de un plano de tierra y de reflectores.

Ejemplo: Planos de tierra y reflectores
Una Antena Quarter-Wave sobre un plano de tierraLa antena centro-alimentada del alambre, demostrada en fig. 2a, tiene un plano de la simetría, = /2, en las cuales no hay campo eléctrico tangencial. Así, con tal que la corriente terminal siga siendo igual, el campo en la parte superior - media - espacio sigue siendo inalterado si un plano a tierra de conductor perfecto se pone en este plano. Observe que la mitad inferior de la antena del alambre sirve como imagen para la mitad superior. Si está utilizada para la difusión de AM o como antena móvil de microondas (en la capota de un automóvil), la altura es generalmente un cuarto de la longitud de onda. En este caso, kl= , y estas relaciones dan

(4)
donde está el patrón de la intensidad de radiación


(5)

Figura 2: sistemas equivalentes de la imagen para tres sistemas físicos.

Aunque el patrón de radiación para el plano de tierra Quarter-wave sea igual que ése para la antena centro-alimentada de media onda del alambre, la resistencia de radiación es media como mucho. Esto sigue del hecho de que la superficie de la integración adentro ahora es mas un hemisferio que una esfera.

(6)

La integral se puede convertir en una integral de seno, si es tabulada.

Fuentes:
http://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter12/12.7.html